有限元法簡單地說,就是將離散的有限個單元來代替整體的結構,單元的特性由有限個結點上的未知參數來表征,從而實現整體分析部分化、單元化。使用合適的方式,組合包含未知參數的代數方程,這些方程包含各個單元的關系式子組成,利用插值函數,通過所構建的平衡方程組求得節點未知參數,求得插值函數的近似解。以一個單向受拉桿為例,來介紹有限元的計算思想。
如圖1所示,拉桿一端固定,另一端受外力P=10kN,拉桿長度L=400mm,橫截面積A=100mm2,材料為Q235,,計算軸向變形。
圖1
根據材料力學胡克定律:
即得圖1拉桿右端的位移。將公式1進行簡單的移項可改寫為公式2
EA/L項即為單元剛度k。
下面開始推導有限元一維桿單元線性靜力學典型方程,將圖1軸向受拉桿劃分成一個桿單元,一個桿單元分左右i、j兩個節點,每個節點有一個自由度,即沿X方向的平動自由度。
圖2
由圖2可知,桿左右兩側均受拉力作用,左側Pi和右側Pj的內力由公式2推導如下:
將公式(3)寫成矩陣形式
在公式4中有ui和uj兩個未知量,若1個節點有1個廣義未知量,1個一維桿單元包含兩個節點,則1個單元共有兩個廣義位移未知量,最終構成的矩陣為2X2的方陣。
公式4可簡寫成公式5
式中,
公式5即為有限元線性靜力學的典型方程。
公式4僅為1個單元的靜力平衡方程,若將圖1的軸向受力構件劃分成兩個單元,則需要將兩個單元平衡方程進行組裝。下面就以圖1的構件為例,將其劃分成兩個單元,計算其右側的軸向位移。
單元劃分如圖3,左側定義為1號單元,右側定義為2號單元,共有 3個節點,3個未知位移,故最終構成的矩陣應該是3X3的方陣。
圖3
1號單元的靜力平衡方程如公式7:
在組裝矩陣之前,需要擴充公式6和公式7,擴充矩陣的目的是將3個節點的位移全部納入到總剛矩陣中便于后面矩陣疊加,擴充后的公式6和公式7如下:
下面將擴充后的公式6和公式7合并、組裝,如公式9:
公式9中剛度矩陣K的行列式為0,無法求解圖1中桿的位移,因此在使用有限元軟件進行靜力學分析時,由于結構約束不足,會給出報錯提示。
若讓式9有解,需要對式9加入邊界條件,本例的邊界條件是左側i節點的軸向位移為0,即是已知的,故將式9的第一行和第一列從矩陣中去除,式9變成式10,如下式:
將其它已知條件(彈性模量、桿長、桿截面積及右側集中力)帶入式10:
將公式10從矩陣形式改成線性方程組的形式:
求解公式11,得
由結果可知,有限元方法求出的基本結果是位移,應變,應力場是基于位移基本解迭代出來的。
作者 李文文 高級工程師
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